F = y n cos xˆx + sin xŷ. W OABO = F d r. ds + sin(x)dy ds. dy ds = 1 π. ) n 1 cos(s) + sin(s)ds. dy ds = 0. ds = 1 &

Transcript

1 Μηχανική Ι Εργασία #4 Μουζλάνοβ Γεώργιος Αριθμός Μητρώου:478 3 Οκτωβρίου 6

2 Άσκηση Αό τα δεδομένα της άσκησης έχουμε τα εξής: F = y n cos ˆ + sin ŷ Το έργο στην κλειστή διαδρομή O A B O είναι το κλειστό εικαμύλιο ολοκλήρωμα W OABO = F d r α) Το έργο W OABO σάει στα ειμέρους έργα και γίνεται: W OABO = W OA + W AB + W BO όου κάθε έργο υολογίζεται αο το εξής ολοκλήρωμα: s ( ) d W = F d r = F d + F y dy = F ds + F dy y ds ds όου η s είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή αραμετροοίησης. Αντικαθιστώντας έχουμε τελικά: s ( W = (y n cos()) d ) ds + sin()dy ds ds s Για την διαδρομή O A ειλέγουμε την ανεξάρτηση μεταβλητη s = οότε έχουμε ως = s και y = s/. Οότε: d ds = & s dy ds = και όταν s, s Ετσι το ολοκλήρωμα της διαδρομής O A γίνεται: W OA = [ ( s ) n cos(s) + sin(s) ] ds = s n cos(s)ds+ sin(s)ds n W OA = s n cos(s)ds + n Για την διαδρομή A B ειλέγουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή s = οότε έχουμε ως = s και y =. Είσης: d ds = & dy ds =

3 και όταν s, s Ετσι το ολοκλήρωμα έργου για την διαδρομή A B γίνεται: dy W AB = () cos(s) + sin(s) ds = cos(s)ds = ds Και τέλος για την διαδρομή B O ειλέγουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή s = y, οότε έχουμε ως = και y = s. Είσης: d ds = &dy ds = και όταν y s, y s. Ετσι το ολοκλήρωμα έργου για την διαδρομή B O γίνεται: W BO = s n d cos() ds + sin() dy ds = ( + ) ds = ds Στη συνέχεια ξεκινάμε και αντικαθιστούμε τιμές στο n. Ετσι για n = έχουμε: W OA = s cos(s)ds+ = [ s sin(s) ] sin(s)ds+ = [ cos(s)] + W OA = + = + W OA = Το έργο για τις διαδρομές A B και B O είναι μηδενικό, οότε συνολικά για n = το έργο είναι: W OABO = + + = Για n = εχουμε: W OA = s cos(s)ds + = s (sin(s)) ds + = [ s sin(s) ] s sin(s)ds + W OA = (s( cos(s)) ) ds + 3

4 W OA = [ s cos(s)] + ( cos(s))ds + W OA = () cos(s)ds + W OA = + = Το έργο για τις διαδρομές A B και B O είναι μηδενικό ανεξαρτήτως n, οότε συνολικά για n = το έργο είναι: W OABO = + + = Για n = 3 έχουμε: W OA = s 3 cos(s)ds + 3 = s 3 (sin(s)) ds + 3 W OA = [ (s 3 3 sin(s) ] 3s sin(s)ds + W OA = ) ( 3 s ( cos(s)) ds + 3 W OA = 3 [( s cos(s) ] s( cos(s)ds + 3 W OA = 3 [ + 3 W OA = 3 ( [ + s 3 sin(s) ] s(sin(s)) ds + )] sin(s)ds + W OA = 3 ] [ ( cos(s)) + 3 = 3 ( ) + 3 W OA = = 3 Οότε το συνολικό έργο για την διαδρομή όταν n = 3 είναι(οι εόμενες διαδρομές όως δείξαμε αραάνω εχουν μηδενικό εργο): W OABO = 3 β) Αο τις αραάνω ράξεις, βρήκαμε ως ίσως η F να είναι συντηρητική για n = & n =. Ωστόσο αυτό δεν είναι η αναγκαία συνθήκη για να είναι μία 4

5 δύναμη συντηρητική. Μία δύναμη θα μορούσε να μήν είναι συντηρητική και αρόλα αυτά σε κάοια διαδρομή το έργο της να είναι μηδενικό. Για είναι μία δύναμη συντηρητική θα ρέει ο στροβιλισμός της να είναι μηδενικός. Δηλαδή θα ρέει να ικανοοιείται η σχέση: Για n = έχουμε: F = F ˆ ŷ ẑ = y z F F y F z = ˆ F y z z F y +ŷ z F F z +ẑ = ẑ ( sin() ) y y cos() = ẑ (cos() cos()) = ẑ Για n =. Για να μήν ξανακάνουμε όλη την αραάνω διαδικασία, αρατηρούμε ως μας ενδιαφέρει μόνο η συνιστωσα ẑ, αφού όλες οι άλλες μηδενίζονται ανεξαρτήτως της τιμής του n,οότε έχουμε: ( F = ẑ sin() ) y y cos() = ẑ (cos() y cos()) Οότε καταλήγουμε στο συμέρασμα ότι μόνο η F για n = είναι ράγματι μία συντηρητική δύναμη. Και αφού είναι συντηρητική μορούμε να εξάγουμε την συνάρτηση δυναμική ενέργειας. Οότε υάρχει συνάρτηση δυναμική ενέργειας ου μορεί να γραφεί ώς: ( F = V V V F ˆ + F y ŷ = ˆ + y ŷ V ) z ẑ Οου αναλύοντας συνιστώσα ρος συνιστώσα αίρνουμε το εξής σύστημα εξισώσεων: F = V F y = V y Λύνοντας την ρώτη έχουμε: y cos() = V y cos()d = dv V = y sin() + C(y) ( F y ) y F = 5

6 Αντικαθιστώντας στη δεύτερη αίρνουμε: V y = sin() + dc dy = sin() C(y) = Οότε τελικώς βρήκαμε ότι η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας είναι: V (, y) = y sin() Άσκηση Εχουμε ως: F = + 4 Για να σχεδιάσουμε την γραφική της αράσταση θα υολογίσουμε ρώτη και δεύτερη αράγωγο για να καθορίσουμε την μονοτονία και τα κοίλα της συνάρτησης F. Ετσι: F = d F d = 34 ( 4 + ) Με ρίζες στα σημεία: = = Με ρίζες στα σημεία: F = d F d = 43 (3 4 5) ( 4 + ) 3 = 5 = =

7 Ετσι έχουμε τελικά ως: F () F () F () Και τελικώς το γράφημα της F είναι : Graph of F.5 F Για να βρούμε κάοιος σημείο ισορροίας ψάχνουμε να βρούμε κάοιο σημείο όου η F μηδενίζεται. Παρατηρώντας την συνάρτηση μαθηματικά αλλά και γραφικά βλέουμε ως αυτό συμβαίνει όταν =. Για να αοφανθούμε άν είναι ευσταθές ή ασταθές θα κοιτάξουμε την η αράγωγο της F, αν αυτή γύρω αο το σημείο ισορροίας είναι αρνητική, τότε είναι ευσταθές. Αλλιώς άν είναι θετική είναι ασταθές. Κοιτώντας το ίνακα αραάνω βλέουμε ως είναι αρνητική. Αρα το σημείο ισορροίας = είναι ευσταθές. Θα μορούσαμε να θεωρήσουμε και ασταθή σημεία ισορροίας στο και στο+, αλλά για λόγους αλότητας δεν θα το κάνουμε, αφού στον ραγματικό κόσμο δεν υάρχουν άειρες οσότητες, και σύμφωνα με το γράφημα της F αυτή θα μηδενίζονταν σε άειρη αόσταση. 7

8 Για να βρούμε την ερίοδο μικρών ταλαντώσεων γύρω αο το σημείο ισορροίας θα άρουμε το ανάτυγμα Τέιλορ ως ρος q με q = Ετσι: F () = F () Οότε αο τον ο νόμο του Νιούτων έχουμε: + F ()q = q mẍ = F q + q = q = C sin(t) + C cos(t) Αο την τελευταία εξίσωση καταλαβαίνουμε ότι ω =, οότε: T = ω T = β) Εχουμε ως: V = ( F d = + 4 ) d = + 4 d κάνουμε την αντικατάσταση ξ =,οότε dξ = d και το ολοκλήρωμα γίνεται: V = + d = dξ 4 + ξ dξ = arctan ξ + C = arctan + C Ειλέγουμε ως V () =, για να φύγει η σταθερά C, οότε τελικά έχουμε: V () = arctan( ) Για να βρούμε το γράφημά της θα άρουμε ρώτη και δεύτερη αράγωγο και θα μελετήσουμε την μονοτονία και τα κοίλα της. Ετσι έχουμε: με ρίζα = με ρίζες: V () = 4 + V () = 34 ( 4 + ) = =

9 και εν τέλει έχουμε τον ίνακα: V () + + V () V () Και το γράφημα της V (): Graph of V.8.6 V Για να βρούμε τα σημεία ισορροίας αο την γραφική αράσταση, ψάχνουμε να βρούμε ου έχει ακρότατα(μέγιστα ή ελάχιστα). Καταλαβαίνουμε ως αυτό ισχύει μόνο για =. Αυτό άλλωστε θα μορούσαμε να το βρούμε και την ρώτη αράγωγο της V. Και εειδή V > βρίσκουμε ως το το συγκεκριμένο Σ.Ι. είναι και ευσταθές. γ) Μας δίνεται ότι το σώμα εχει αρχική θέση =.Δηλαδή βρίσκεται στη t= θέση ισορροίας του. Για αρχική ταχύτητα ẋ = το σώμα θα μείνει για t= άντα στην αρχική του θέση αφού η συνολική του ενέργεια είναι μηδενική. E = T (v ) + V () = mv + = + = 9

10 Για ẋ t= = εχουμε ως: E = T (v ) + V () = mv + = Για να δούμε μέχρι ού θα φτάσει το σώμα, θα θέσουμε την ταχύτητα του ίση με το μηδεν. Ετσι έχουμε: E = = V () = arctan( ) = arctan( ) tan() = = tan().47 Οότε η κίνηση ου θα κάνει το σώμα θα είναι εριοδική μεταξύ των ακρων +,. Για την ερίοδο της κίνησης, έχουμε αο το ολοκλήρωμα ενέργειας: E = mẍ + V () d (E V ()) dt = ± m d (E V ()) m = ±dt + T = d (E V ()) m + = + T = Για ẋ = / έχουμε ως: t= md + = (E V () d arctan( ) E = T (v ) + V () = / + E 3 = d ( arctan( ) ). Στην ερίτωση αυτή, η συνολική ενέργεια του σώματος είναι ελάχιστα μεγαλύτερη αο την μέγιστη τιμή της δυναμικής ενέργειας.δηλαδή την λησιάζει ασυμτωματικά στο άειρο. Που σημαίνει ως το σώμα θα έχει άντα ταχύτητα(οσοδήοτε μικρή), οότε ξεκινώντας αο το = με θετική ταχύτητα θα καταλήξει στο + Για ẋ = βρίσκουμε ως η ενέργεια του σώματος είναι: t= E 4 =.57 >> V Που σημαίνει ως το σώμα θα έχει άντα ταχύτητα αρκετά μεγαλύτερη του μηδενός,οότε θα συνεχίσει να κινεται στο.

11 Η γραφική αράσταση της V μαζί με τις διάφορες ενεργειακές στάθμες:.5 V δ)για να βρούμε τις τροχιές στον χώρο τον φάσεων θα άρουμε τα ολοκληρώματα ενέργειας σε κάθε ερίτωση, και θα λυσουμε ως ρος ẋ. Για την ρωτη ερίτωση όως αναφέραμε θα είναι για άντα στην αρχή των αξόνων. Για την ενέργεια E έχουμε: E = = mẋ + arctan( ) ẋ = Αντίστοιχα για E 3 καταλήγουμε στη σχέση: arctan( ) m = arctan( ) ẋ = / arctan( ) Και για E 4 έχουμε: ẋ = arctan( )

12 Και το διάγραμμα φάσης έχει ώς εξής: v Phase Diagram -4-4 Σημείωση: Οι γραμμές στο αραάνω διάγραμμα είναι συνεχείς και η ελλειψη στο κέντρο είναι κλειστή. Τα γραφικά αυτά σφάλματα οφείλονται στο ρόγραμμα ου χρησιμοοιήθηκε.